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            《圓周角和圓心角的關系》課題教案

            日期:2022-06-18

            這是《圓周角和圓心角的關系》課題教案,是優秀的數學教案文章,供老師家長們參考學習。

              教 學目 標

              知識與技能

              1.掌握圓周角定理幾個推論的內容.

              2.會熟練運用推論解決問題.

              改進建議

              (請屬名并標注單位)

              過程與方法

              1.培養學生觀察、分析及理解問題的能力.

              2.在學生自主探索推論的過程中,經歷猜想、推理、驗證等環節,獲得正確的學習方式.

              情感態度與價值觀

              培養學生的探索精神和解決問題的能力.

              教學重點

              圓周角定理的幾個推論的應用.

              教 學

              難 點

              理解幾個推論的“題設”和“結論”.

              教 法 與

              方 法

              指導探索法.

              教 學 活 動 過 程 設 計

              步 驟

              教 師 活 動

              學 生 活 動

              一、

              創 設情 境導 入新 課

              [師]請同學們回憶一下我們前幾節課學習了哪些和圓有關系的角?它們之間有什么關系?

              [師]我們在分析、證明上述定理證明過程中,用到了些什么數學思想方法?

              [師]請同學們回憶一下我們前幾節課學習了哪些和圓有關系的角?它們之間有什么關系?

              [師]我們在分析、證明上述定理證明過程中,用到了些什么數學思想方法?

              [生]學習了圓心角和圓周角、一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.即圓周角定理.

              [生]分類討論、化歸、轉化思想方法.

              一、

              創 設情 境導 入新 課

              [師]同學們請看下面這個問題:(出示投影片§3.3.2 A)

              已知弦AB和CD交于⊙O內一點P,如下圖.

              求證:PA·PB=PC·PD

              .要想解決這個問題.我們需先進行下面的學習.

              [師生共析]要證PA·PB=PC·PD,可證.由此考慮證明以PA、PC為邊的三角形與以PD、PB為邊的三角形相似.由于圖中沒有這兩個三角形,所以考慮作輔助線AC和BD.要證△PAC∽△PDB.由已知條件可得∠APC與∠DPB相等,如能再找到一對角相等.如∠A=∠D或∠C=∠B.便可證得所求結論.如何尋找∠A=∠D或∠C=∠B

              二、

              嘗 試探 究解 決問 題

              [師]請同學們畫一個圓,

              以A、C為端點的弧所對的圓

              周角有多少個?(至少畫三個)

              它們的大小有什么關系?你是

              如何得到的?

              [師]大家想一想,我們能否用驗證的方法得到上圖中的∠ABC=∠ADC=∠AEC?(同學們互相交流、討論)

              [師]通過剛才同學的學習,我們上面提出的問題∠A=∠D或∠C=∠B找到答案了嗎?

              [師]如果我們把上面的同弧改成等弧,結論一樣嗎?

              [師]通過我們剛才的探討,我們可以得到一個推論.

              [生] 弧AC所對的圓周角有無數個,它們的大小相等,我是通過度量得到的.

              [生]由圖可以看出,∠ABC、∠ADC和∠AEC是同弧(弧AC)所對的圓周角,根據上節課我們所學的圓周角定理可知,它們都等于圓心角∠AOC的一半,所以這幾個圓周角相等.

              [生]找到了,它們屬于同弧所對的圓周角.由于它們都等于同弧所對圓心角的一半,這樣可知∠A=∠D或∠C=∠B.

              [生]一樣,等弧所對的圓心角相等,而圓周角等于圓心角的一半,這樣,我們便可得到等弧所對的圓周角相等.

              在同圓或等圓中,同弧或等弧所對的圓周角相等.

              [師]若將上面推論中的“同弧或等弧”改為“同弦或等弦”,結論成立嗎?請同學們互相議一議.

              注意:(1)“同弧”指“同一個圓”.

              (2)“等弧”指“在同圓或等圓中”.

              (3)“同弧或等弧”不能改為“同弦或等弦”.

              [師]接下來我們看下面的問題:

              如右圖,BC是⊙O

              的直徑,它所對的圓周

              角是銳角、直角,還是

              鈍角?你是如何判斷的?

              (同學們互相交流,討論)

              [師]反過來,在下

              圖中,如果圓周角∠BAC

              =90°,那么它所對的弦

              BC經過圓心O嗎?為什么?

              [師]通過剛才大家的交流,我們又得到了圓周角定理的又一個推論:

              直徑所對的圓周角是直角,90°的圓周角所對的弦是直徑.

              注意:這一推論應用非常廣泛,一般地,如果題目的已知條件中有直徑時,往往作出直徑上的圓周角——直角:如果需要直角或證明垂直時,往往作出直徑即可解決問題.

              [師]為了進一步熟悉推論,我們看下面的例題.(出示投影片§3.3.2 B)

              [例]如圖示,AB是⊙O的直徑,BD是⊙O的弦,延長BD到C,使AC=AB,BD與CD的大小有什么關系?為什么?

              [生]如下圖,結論不

              成立.因為一條弦所對的

              圓周角有兩種可能,在弦

              不是 直徑的情況下是不相

              等的.

              [生]直徑BC所對的圓周角是直角,因為一條直徑將圓分成了兩個半圓,而半圓所對的圓心角是∠BOC=180°,所以∠BAC=∠90°.

              [生]弦BC經過圓心O,因為圓周角∠BAC=90°.連結OB、OC,所以圓心角∠BOC=180°,即BOC是一條線段,也就是BC是⊙O的一條直徑.

              [師生共析]由于AB是⊙O的直徑,故連接AD.由推論直徑所對的圓周角是直角,便可得AD⊥BC,又因為△ABC中,AC=AB,所以由等腰三角形的二線合一,可證得BD=CD.

              下面哪位同學能敘述一下理由?

              [師]通過我們學習圓周角定理及推論,大家互相交流,討論一下,我們探索上述問題時,用到了哪些方法?試舉例說明.

              [生]BD=CD.理由是:

              連結AD.

              ∵AB是⊙O的直徑,

              ∴∠ADB=90°.

              即AD⊥BC.

              又∵AC=AB,

              ∴BD=CD.

              [生]在得出本節的結論過程中,我們用到了度量與證明的方法,比如說在研究同圓或等圓中,同弧或等弧所對的圓周角相等;還學到了分類與轉化的方法.比如說在探索圓周角定理過程中,定理的證明應分三種情況,在這三種情況中,第一種情況是特殊情況,是證明的基礎,其他兩種情況都可以轉化為第一種情況來解決,再比如說,學習圓周角定義時,可由前面學習列的圓心角類比得出圓周角的概念……

              三、

              課 堂練 習鞏 固新 知

              P107 隨堂練習

              1.為什么有些電影院的坐位排列(橫排)呈圓弧形?說一說這種設計的合理性.

              2. 如下圖,⊙O的直徑AB=10 cm,C為⊙O上的一點,∠ABC=30°,求AC的長.

              解:∵AB為⊙O的直徑.

              ∴ACB=90°.

              又∵∠ABC=30°,

              ∴AC= AB= ×10=5(cm).

              答:有些電影院的坐位排列呈圓弧形,這樣設計的理由是盡量保證同排的觀眾視角相等.

              四、

              課 堂小 結布 置作 業

              課時小結

              本節課我們學習了圓周角定理的2個推論,結合我們上節課學到的圓周角定理,我們知道,在同圓或等圓中,根據弦及其所對的圓心角,弧,弦、弦心距之間的關系,實現了圓中這些量之間相等關系的轉化,而圓周角定理建立了圓心角與圓周角之間的關系,因此,最終實現了圓中的角(圓心角和圓周角),線段(弦、弦心距)、弧等量與量之間相等關系的相等相互轉化,從而為研究圓的性質提供了有力的工具和方法.

              課后作業

              課本P108 習題3.5

              板

              書

              設

              計

              § 3.3.2 圓周角和圓心角的關系(二)

              一、推論一:

              在同圓或等圓中,同弧或等弧所對的圓周角相等.

              二、推論二:

              直徑所對的圓周角是直角;90°的圓周角所對的弦是直徑.

              三、例題

              四、隨堂練習

              五、做一做(反證法)

              六、課時小結

              七、課后作業

              教學反思

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